Quantumfysica

Fysica Hoofdmenu Start

Quantumfysica in grote lijn

Terrein

Deeltjes en straling

Foton

Deeltjes en spin

Meten is verstoren

Golfgedrag

Eigentoestanden

Superpositie en verwachtingswaarde

Ontaarde energietoestand

Fermionen en bosonen

In een conservatief krachtveld

Lineaire operatoren

De hamiltoniaan H en de Schrödinger vergelijking

Reële eigenwaarden

Commutatoren van twee operatoren

Simultane metingen van twee grootheden

Gepaarde grootheden

Onbepaaldheidrelatie van Heisenberg

Buiging van een bundel deeltjes

Energieniveaus

Energiesprongen en fotonemissie

Energiesprongen en fotonabsorptie

Waarschijnlijkheden

Fermi-Dirac-statistiek

Bose-Einstein-statistiek

Normering van de waarschijnlijkheden

Overgangswaarschijnlijkheden

Verboden overgangen

De tijdafhankelijke Schrödinger vergelijking

Verschillende presentaties van de quantumfysica

Afhankelijkheid van de waarnemer

Terrein
Quantumfysica is een deel van de waarschijnlijkheidsrekening uit de wiskunde,
dat zich bezighoudt met de fysica, met name met deeltjes en straling.

Omhoog

Deeltjes en straling

Quantumfysica houdt zich voornamelijk bezig met deeltjes op atomair niveau en met fotonen of quanta.
De grens tussen de meer algemene quantumfysica en de quantummechanica is niet eenduidig gedefinieerd.

Toch zijn er macroscopische verschijnselen die quantumfysisch zijn zoals laser, supergeleiding,
de (te verwachten) quantumcomputer, spectraallijnen en ‘supervloeibaar helium’.

Foton
Veel proeven tonen het golfgedrag van elektromagnetische straling aan.
Dat is nog het terrein van de klassieke fysica.
Ook zijn er experimenten zoals het foto-elektrisch-effect en het compton-effect die
aangeven, dat elektromagnetische straling op te vatten is als een sproei van deeltjes,
de zogenaamde fotonen of quanta.

Een foton wordt gekenmerkt door zijn frequentie f of ν (de Griekse nu) en energie E.
Er geldt E = hf. Hierin is h de universele constante van Planck.
Nog een kenmerk is zijn polariteit, de richting waarin het foton trilt.

Alle fotonen bewegen in vacuüm even snel, namelijk met 'de' lichtsnelheid = c = 300 Mm/s.
Voor de golflengte λ geldt: c = f λ.

Omhoog

Deeltjes en spin
Naast massa en lading hebben deeltjes nog een basiseigenschap, het spinimpulsmoment,
dat kortweg spin wordt genoemd.
De kleinst mogelijke waarde van de spin wordt in de oreonfysica met $ aangeduid.
$ wordt de protonspin genoemd. Dat is h/(4π) = ℏ/2. ℏ = de constante van Dirac = h/(2π).

De elementair lading e wordt in de oreonfysica aangeduid met € en wordt de protonlading genoemd.
De $ is dus de protonspin.

Meten is verstoren
Om een deeltje te kunnen waarnemen is tenminste één foton nodig dat erop terugkaatst.
Dat betekent impulsoverdracht. De toestand van het deeltje wordt daardoor dus altijd
bij een experiment verstoord. Hoe groter het deeltje is, hoe geringer de verstoring bij meting is.
Bij macroscopische voorwerpen is die verstoring onmerkbaar.

Golfgedrag
Deeltjes vertonen golfgedrag. Dat wordt verderop besproken.

Omhoog

Eigentoestanden
Een deeltje kan zich vaak in meerdere toestanden bevinden.
[Denk bijvoorbeeld aan het elektron in een H-atoom.]
In welke toestand het elektron zich op zeker moment feitelijk bevindt, is volstrekt onbekend.
Zijn bijbehorende energie is dan evenmin bekend.
Pas als men meet, wordt de onzekerheid weggenomen.
Het elektron zal zich dan in één van zijn eigentoestanden met eigenenergie bevinden.
Daarmee gaat alle info over mogelijke toestanden met waarschijnlijkheden (zoals het was) verloren.
Het systeem [H-atoom] is door de meting essentieel verstoord.

Toestanden worden beschreven met een complexe golffunctie ψ (de Griekse letter psi).
Die wordt ook wel eigenfunctie genoemd.

Superpositie en verwachtingswaarde
Karel kan thuis zijn en hij kan ook niet thuis zijn.
’s Nachts is de kans dat hij thuis is, aanzienlijk groter dan overdag.
Onder werktijd is de kans veel groter dat hij niet thuis is dan wel.

Dit illustreert de twee toestanden waarin Karel dagelijks verkeren kan.
Beide mogelijkheden zijn tegelijkertijd met hun eigen waarschijnlijkheid aanwezig.
Pas als ik aanbel (ik kan de bel horen) kom ik te weten of hij wel of niet thuis is.
(De 'Schrödinger kat' is een gelijksoortig verhaaltje.)

Zo is het ook in de quantumfysica. Alle denkbare toestanden zijn potentieel voor een systeem aanwezig,
elk met hun eigen waarschijnlijkheid. Dat heet superpositie van de toestanden. Zodra je gaat meten
wordt één van die mogelijkheden werkelijkheid.
De verwachtingswaarde is de toestand met grootste waarschijnlijkheid.
Verwachting is natuurlijk geen zekerheid.

Omhoog

Ontaarde energietoestand
Soms is er maar één energietoestand bij één eigenfunctie.
Het kan ook voorkomen, dat er bij één energieniveau meerdere 'quantumtoestanden' bestaan.
In dat geval spreekt men van een ontaarde energietoestand.

[Een elektron in een willekeurig atoom is in een toestand met één energie.
Door een magneetveld aan te zetten, kunnen die energietoestanden opsplitsen in twee of meer
energieniveaus vlak bij elkaar. Dat is het Zeeman-effect. Hoe sterker het magneetveld,
hoe sterker de opsplitsing. Men spreekt hier van fijnstructuur.]

Fermionen en bosonen
Deeltjes, waarvan de spin een oneven aantal maal de protonspin is, heten fermionen.
Grotere oneven getallen bij spins komen in de praktijk zelden voor.
De golffunctie van fermionen is oneven of antisymmetrisch (voor plaats en tijd).
Dus ψ(r) = –ψ(–r) en ψ(t) = –ψ(–t).
Dat betekent, niet, dat de tijd terug kan lopen naar het verleden.
Fermionen hebben nooit ontaarde energietoestanden.
Dat betekent, dat twee fermionen nooit in dezelfde quantumtoestand verblijven.
Dat is het zogenaamde Pauliverbod.

Omhoog

Bosonen
Deeltjes, waarvan de spin nul of een even maal de protonspin is, heten bosonen.
Grotere even getallen bij spins komen in de praktijk zelden voor.
De golffunctie van bosonen is even, dat wil zeggen symmetrisch (voor plaats en tijd).
Dus ψ(r) = ψ(–r) en ψ(t) = ψ(–t).
Vooral bij lage temperaturen kunnen bosonen in grote getale in één en dezelfde energietoestand verkeren, in het bijzonder het laagste energieniveau, de grondtoestand.
Dat verschijnsel staat bekend als de Bose-Einstein-condensatie oftewel BEC.

In een conservatief krachtveld
Als een deeltje zich in een conservatief krachtveld bevindt, heeft het kinetische en potentiële energie. Hun som, de totale energie, verandert niet in de tijd.

Omhoog

Lineaire operatoren
A is een willekeurige meetbare eigenschap, een fysische grootheid of observabele.
Bij elke A behoort een lineaire operator Â.

(Ik kan wel Â typen, omdat A een klinker is, maar op een medeklinker krijg ik geen ^.
Daarom typ ik ze pal achter elkaar.)

Voorbeelden
Bij de positie x behoort x^ = x.
Op dezelfde manier gaat het voor de y- en z-richting.
In vectornotatie ziet de positieoperator er zo uit: r^ = r

Voor de impuls geldt in de x-richting p^_x = -2i$ ∂/∂x
Op dezelfde manier gaat het voor de y- en z-richting.
In vectornotatie ziet de impulsoperator er zo uit: p^ = -2i$ (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) = -2i$∇
De ∇ heet de nabla-operator.

Omdat de kinetische energie van translatie T = p²/(2m) is,
is de kinetische energieoperator gelijk aan T^ = p^²/(2m) ∇².
∇² betekent, dat het om de tweede partiële afgeleide naar x, y en z gaat.

De potentiële energie V kent verschillende uitdrukkingen, afhankelijk van de conservatieve kracht.
De bijbehorende operator dus ook.

Omhoog

De hamiltoniaan H en de Schrödinger vergelijking
De hamiltoniaan H is niets anders dan de totale energie van een deeltje.
De bijbehorende lineaire operator is Ĥ = T̂ + V̂
Een willekeurige operator
De ψ is de golffunctie van één of andere deeltje. Â is de operator van één of andere grootheid A met
eigenwaarde a. Dan is Âψ = aψ een vergelijking.
Als die tot een oplossing leidt, is ψ een eigenfunctie en a een eigenwaarde van A.
Dat betekent, dat a een mogelijke meetwaarde van A is.

De Schrödinger vergelijking
Schrödinger heeft bovenstaande vergelijking toegepast op de hamiltoniaan of totale energie van een deeltje.
Dat geeft de volgende tijdsonafhankelijke Schrödinger vergelijking: Ĥψ = Eψ
[Bij een H-atoom kan E één van de volgende waarden aannemen: E = – 13,6eV/n².
Anders gezegd: de eigenwaarden van E zijn – 13,6eV/n².]

Omdat n een positief natuurlijk getal is, is het bereik of spectrum van E discreet en niet continu.
Deze n is een voorbeeld van een quantumgetal.

Omhoog

Reële eigenwaarden
Het is toch wel prettig, dat eigenwaarden van een willekeurige grootheid reëel zijn,
omdat ze meetbare waarden vertegenwoordigen. Dat moet zelfs geëist worden!
Dat geeft wiskundige voorwaarden aan de operatoren.

Commutatoren van twee operatoren

Definitie
De commutator van Â en B̂ is [Â,B̂] ≡ ÂB̂ - B̂Â.
Omdat ÂB̂ en B̂Â meestal niet gelijk zijn
is de complexe operator ÂB̂ - B̂Â meestal niet gelijk aan nul. Ze ‘commuteren’ niet.
Als de commutator [Â,B̂] op de golffunctie ψ werkt, geldt
[Â,B̂]ψ = ÂB̂ψ – B̂Âψ = Â(B̂ψ) – B̂(Âψ).

Omhoog

Simultane metingen van twee grootheden
Veronderstel, dat
a een eigenwaarde van A is,
b een eigenwaarde van B is,
ÂB̂ = B̂Â, dus dat Â en B̂ commuteren, dus dat [Â,B̂]ψ = 0,
dan kunnen A en B elk tegelijk met de grootst mogelijke nauwkeurigheid gemeten worden.
Dus kunnen ΔA en ΔB tegelijk nul zijn. Immers [Â,B̂]ψ = ÂB̂ψ - B̂Âψ = a(bψ) – b(aψ) = 0.
De simultane meting veroorzaakt in dit geval kennelijk geen verstoring van de golffunctie ψ.

Als de twee operatoren niet commuteren
Als [Â,B̂]ψ = ÂB̂ψ – B̂Âψ ≠ 0 dan wordt de golffunctie wel verstoord en
kunnen A en B niet tegelijk met de grootste nauwkeurigheid gemeten worden.
Dan is ΔAΔB ≥ $ met $ als de protonspin.
Dit is een onzekerheidsrelatie of onbepaaldheidrelatie.
Die geldt ook als de golffunctie een eigenfunctie is.

Gepaarde grootheden
Er zijn tweetallen grootheden die vermenigvuldigd een impulsmoment opleveren.
Die gepaarde grootheden zijn
plaats en impuls
energie en tijd
Omhoog

Onbepaaldheidrelatie van Heisenberg
Het product van de onnauwkeurigheden van de gelijktijdige metingen van twee gepaarde grootheden
heeft volgens de onzekerheidrelatie van Heisenberg een minimale waarde.
Is de ene grootheid met de grootst mogelijke nauwkeurigheid gemeten,
dan is de andere onvermijdelijk geheel onbepaald en onbepaalbaar.

Die minimale waarde is de grootte van de spin van een proton, dus aangeduid met $.
Zo zijn Δx Δp > $ en ΔE Δt > $.

Buiging van een bundel deeltjes
Is de ene grootheid met de grootst mogelijke nauwkeurigheid gemeten, dan is de onnauwkeurigheid van de andere grootheid onvermijdelijk veel groter dan de waarde zelf van die grootheid.
Die grootheid is dan in feite geheel onbepaald.

[Een bundel elektronen is gericht op een zeer klein gaatje (of smalle spleet) in een metalen plaat.
De elektronen die door het gaatje vliegen, hebben even een zeer nauwkeurig bepaalde positie in het
vlak van de plaat. Het gevolg is dan dat de impuls van de elektronen zeer onbepaald wordt.
Dat uit zich als het uitwaaieren van de bundel. Er treedt buiging of diffractie op bij het gaatje op.
En dat is het gedrag van een golf.]
Louis de Broglie heeft hier een golflengte bij bepaald: λ = h/(mv) = de deBrogliegolflengte.

Hoewel buiging of diffractie klassiek beschreven wordt, kan het dus ook quantumfysisch verklaard worden.
Elektronenbundels kunnen net als lichtbundels breking en interferentie vertonen.
Dat geldt ook voor andere deeltjes.

Omhoog

De spin van een deeltje
Voor de spin S = (S_x,S_y,S_z) gelden de volgende commutatieregels:
[S_x ,S_y] = 2i$S_z
[S_y ,S_z] = 2i$S_x
[S_x ,S_z] = 2i$S_y.
In de klassieke fysica komt de spin niet voor. Hij is van de dimensie impulsmoment.
In de oreonhypothese heeft hij wel de betekenis van rotatie-impulsmoment van de zeer kleine deeltjes.

De paren algemene grootheden A en B die niet tegelijk extreem nauwkeurig meetbaar zijn
heten incommensurabel. Ze zijn niet-commuterende grootheden. Dat betekent,dat ÂB̂ ≠ B^Â.
Dan geldt: ΔA ΔB > |<[A,B]>|/(2i). Hierin is i = √(–1).

Energieniveaus
In een atoom of molecule liggen de energieniveaus altijd op discrete afstand van elkaar.
Meestal is de onderlinge 'afstand' verschillend.
De deeltjes bevinden zich dan in een gebonden toestand.
Buiten de gebonden toestand kunnen de diverse energieniveaus ook een continuüm vormen.

Omhoog

Energiesprongen en fotonemissie
Deeltjes willen in principe altijd van een hogere energietoestand naar een lagere verspringen.
[Vaak is daar een elektrische kracht voor verantwoordelijk.]
Daarbij daalt potentiële energie, [meestal dan elektrische energie,] samen met de kinetische energie.
Die afname wordt omgezet in de energie van een foton.
De verzameling uitgezonden frequenties heet een emissiespectrum.
Hier is een continu emissiespectrum te zien dat wordt uitgezonden door een gloeiende metaaldraad;

daaronder een emissie-lijnenspectrum van heet en éénatomig waterstofgas.

Energiesprongen en fotonabsorptie
Omgekeerd kan een deeltje ook naar een hogere energietoestand maar dat lukt alleen door toevoer van
energie van buitenaf.

Dat kan soms door thermische energie.
Bewegingsenergie van een deeltje wordt dan overgedragen tijdens een botsing aan het beschouwd systeem.

Soms kan de energie van een systeem door geschikte elektromagnetische straling worden opgepept.
Die straling is geschikt als die fotonen bevat die ‘het systeem’ ook zou kunnen uitzenden.
Dit spectrum heet een absorptielijnenspectrum:

Omhoog

Waarschijnlijkheden
Hoe hoger de energietoestand hoe kleiner de waarschijnlijkheid
dat het elektron zich in die toestand bevindt.
[Het elektron in een H-atoom zit dan ook bij voorkeur in de grondtoestand,
de toestand met de laagste energie. Dat komt door de aantrekking van de kern.]

Alleen de waarschijnlijkheden van elke toestand kunnen bij niet te ingewikkelde systemen berekend worden.

Fermi-Dirac-statistiek
[In een heet éénatomig waterstofgas zitten de meeste elektronen van zeer vele H-atomen in de K-schil.
Een stuk minder zitten er in de L-schil.
Nog veel minder zitten in de M-schil; enz.
De kans om een elektron in de K-schil aan te treffen is dus het grootst.
De ‘bezettingsgraad’ van de energieniveaus neemt dus af met de hoogte van het energieniveau.]
Met Fermi-Dirac-statistiek kan de bezettingsgraad berekend worden. Dat gaat hier te ver.

Om te kunnen rekenen aan waarschijnlijkheden in de quantumfysica in het algemeen is kennis nodig
van integraalrekening toegepast op complexe functies. De waarschijnlijkheden zijn evenredig met |ψ|².

Omhoog

Bose-Einstein-statistiek
Bij voldoende lage temperatuur kunnen de meeste bosonen zich in de grondtoestand bevinden. De materie is dan in de fase van bose-einstein-condensatie (BEC).
Verschijnselen die hiermee te maken hebben, zijn onder andere:
supergeleiding van elektrische stroom en van warmte

Normering van de waarschijnlijkheden
[Met een gewone, eerlijke dobbelsteen kun je 1, 2, 3, 4, 5 of 6 gooien.
Als deze dobbelsteen geworpen wordt is het zeker, dat 1, 2, 3, 4, 5 of 6 gegooid wordt.
Deze waarschijnlijkheid wordt op de waarde één gesteld.
Het is ook zeker, dat 7, 8, …, 456, … niet gegooid kan worden.
Die waarschijnlijkheid of kans heeft de waarde nul gekregen.]
Voor alle waarschijnlijkheden geldt dan 0 ≥ waarschijnlijkheid ≥ 1.
Een zo gedefinieerde waarschijnlijkheid heet genormeerd.
Op dezelfde manier worden waarschijnlijkheden in de quantumfysica ook de gedefinieerd.

Overgangswaarschijnlijkheden
Als in een spectrum spectraallijn α helderder is dan spectraallijn β, dan betekent dit
dat er bij lijn α meer fotonen per s ontstaan dan bij lijn β. De energiesprong (omlaag) die lijn α
doet verschijnen is kennelijk waarschijnlijker dan de energiesprong bij spectraallijn β.

Bij elke energiesprong omlaag behoort een bepaalde waarschijnlijkheid.
De overgang van de N-schil naar de M-schil is veel onwaarschijnlijker dan de overgang
van de L-schil naar de K-schil, domweg omdat de L-schillen in de grote verzameling H-atomen
veel meer 'bevolkt' zijn dan N-schillen.

Omhoog

Verboden overgangen
Bij sommige energiesprongen zouden bepaalde behoudswetten geschonden kunnen worden, met name de wet
van behoud van impulsmoment (hoeveelheid draaiing). Daardoor is de overgangswaarschijnlijkheid
buitengewoon klein. In dit geval spreekt men van verboden overgangen.
[Deze overgangen spelen onder andere een rol
bij fosforescentie en
bij de 21-cm-straling die van H-atomen in de Melkweg afkomstig zijn.]
Dat de verboden overgangen soms toch plaatsvinden, komt door een toevallige verstoring van buiten
het beschouwde systeem. Er bestaan zelfs dubbel verboden overgangen.

De tijdafhankelijke Schrödinger vergelijking
De tijdsonafhankelijke Schrödinger vergelijking: H^ψ = Eψ is eerder besproken.

In de praktijk kunnen quantumfysische systemen in de tijd veranderen, evolueren.
De beschrijving ervan gebeurt met de tijdafhankelijke Schrödinger vergelijking: 2i€ ∂ψ/∂t= Ĥψ.
De kromme d’s wijzen op partiële differentiatie naar t. De overige symbolen zijn al uitgelegd.

Verschillende presentaties van de quantumfysica
De op deze website gebruikte presentatie van Schrödinger is met complexe golffuncties.
Gelijkwaardig hiermee zijn andere presentaties bedacht, namelijk met matrices door Heisenberg
en met <bra|ket>s door Dirac. Soms worden ze een beetje door elkaar gebruikt.

Omhoog

Afhankelijkheid van de waarnemer
In de breed aangehangen Kopenhaagse interpretatie van de quantumtheorie van Niels Bohr en Werner Heisenberg is er geen waarnemeronafhankelijke werkelijkheid. Daardoor bepaalt de keuze die de waarnemer maakt bij het kiezen van zijn experiment in belangrijke mate de uitkomst.

Omhoog Fysica Hoofdmenu Start