Delers
Telgetallen
De natuurlijke getallen vormen de volgende, oneindig lange rij getallen
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , … .
Wordt de nul weggelaten, dan blijven de telgetallen over.
In het volgende worden alleen telgetallen beschouwd.
Delers of factoren
Elk getal n kan worden gedeeld door een kleiner telgetal m.
Het resultaat heet het quotient q.
Als q ook een telgetal is, dan zegt men, dat n deelbaar is door m.
12 is deelbaar door 1, 2, 3, 4, 6 en 12.
1, 2, 3, 4, 6 en 12 zijn alle delers van 12.
12 / 5 = 2,4 en dus is 12 niet deelbaar door 5.
5 is geen deler van 12.
Delers worden ook factoren genoemd.
Codelers
12 = 2 × 6. De 2 en de 6 zijn twee delers van 12.
De 6 noem ik de co-deler of cofactor van 2.
De 2 is ook de codeler van 6. De codeler is door wiskundeleraar Franklin Roos bedacht.
De 2 en 6 zijn bij 12 elkaars codelers.
Ontbinden in factoren
Tijdens het ontbinden in factoren is het handig om de delers en codeleres samen te vermelden:
18 = 1 × 18 = 2 × 9 = 3 × 6.
Priemgetallen
Als het telgetal p alleen maar te schrijven is als 1 × p, dan heet p een priemgetal.
De 1 wordt niet to de priemgetallen gerekend.
Evenwichtig priemgetal
Beschouw de rij van de priemgetallen.
Als het verschil van een priemgetal en zijn voorganger even groot is als
het verschil tussen dat priemgetal en zijn opvolger,
dan is dat een evenwichtig priemgetal.
Zie bijvoorbeeld de drie opeenvolgende priemgetallen 47, 53 en 59.
53 – 47 = 59 – 53. Dus is 53 een evenwichtig priemgetal.
Priemtweelingen
Als het verschil van twee opeenvolgende priemgetallen 2 is, zijn ze een priemtweeling.
Bijvoorbeeld 29 en 31.
Priemkwartet
Als vier opeenvolgende priemgetallen alleen verschillen in hun laatste cijfer,
dan vormen ze een priemkwartet. Voorbeelden:
[11 13 17 19] en [101 103 107 109] en [191 193 197 199].
Omhoog
Sfenisch getal
Een sphenisch getal is het product is van drie verschillende priemgetallen.
Bijvoorbeeld is 70 = 2 × 5 × 7.
De 60 bevat wel drie priemdelers (2, 3 en 5) maar is geen sfenisch getal,
omdat 60 ≠ 2 × 3 × 5 is.
Echte delers
Alle delers van 12 zijn 1, 12, 2, 6, 3 en 4.
Laat de grootste, de 12, weg en de echte delers blijven over.
In het komende beschouwen we uitsluitend echte delers.
Ga na, dat 8 drie echte delers heeft.
Samengestelde getallen
Als een telgetal minstens drie echte delers heeft, dan is dat een samengesteld getal.
Het sfenische getal a × b × c heeft precies zeven echte delers. (a, b en c zijn priem)
1 , a , b , c , ab , ac en bc.
Kwadraten
De delers van 25 zijn 1, 5, 5 en 25.
Bij het bepalen van de som van de (echte) delers moet duidelijk afgesproken worden,
of de 5 enkel of dubbel geteld wordt.
Gebrekkige, perfecte en overvloedige getallen
Omstreeks het jaar 100 verdeelde Nicomachus van Gerasa de telgetallen in gebrekkige, perfecte en overvloedige getallen.
Als de som van de (echte) delers van n kleiner is dan n, dan is n een gebrekkig getal.
Als de som van de (echte) delers van n gelijk is aan n, dan is n een perfect of volmaakt getal.
Als de som van de (echte) delers van n groter is dan n, dan is n een overvloedig getal.
Enige perfecte getallen zijn 6, 28, 496, 8.128 en 33.550.336
Bijna perfecte getallen
Als de som van de delers van een telgetal één minder is dan het getal zelf,
dan is dat getal ‘bijna perfect’.
De enige bekende bijna perfecte getallen zijn de machten van 2.
Semiperfecte getallen
is n een semiperfect getal, dan moet de som van de elementen van een of andere
deelverzameling van delers van n ook n zijn.
Voorbeeld. Alle echte delers van 18 zijn 1 , 2 , 9 , 3 en 6.
De som van de delers van 18 is 21. Dus 18 is een overvloedig telgetal.
Eén van de meerdere deelverzamelingen is {3, 6 en 9}. De som hiervan is (ook) 18.
Dus is 18 een semiperfect getal.
Omhoog
Praktische getallen
Een telgetal n is een praktisch getal als elk geheel getal van 1 tot n
geschreven kan worden als deler of als een som van verschillende delers van n.
De wiskundige A.K. Srinivasan uit India bedacht dit.
Een voorbeeld. De delers van 8 zijn 1, 2 en 4.
1=1, 2=2, 3=1+2, 4=4, 5=1+4, 6=2+4 en 7=1+2+4.
Vreemde getallen
Een vreemd getal is wel overvloedig maar niet semiperfect.
De benaming ‘vreemd’ werd bedacht door Stan Benkoski (leraar wiskunde in Californië).
Primitief vreemd
Een primitief vreemd getal is een vreemd getal dat geen veelvoud is van een ander,
kleiner, vreemd getal. Een voorbeeld is 70.
Bevriende getallen
Twee getallen zijn bevriend als de som van de delers van de één gelijk aan
het andere getal en andersom. Bijvoorbeeld zijn 220 en 284 bevriend. Immers:
De som van de delers van 220 is
1 + (2 + 110) + ( 4 + 55) + (5 + 44) + (10 + 22) + (11 + 20) = 284,
terwijl de som van de delers van 284 gelijk is aan 1 + (2 + 142) + (4 + 71) = 220.
Gemeenschappelijke delers
Kan de som van de gemeenschappelijke delers van twee (of meer) verschillende telgetallen gelijk zijn aan de som van die getallen?
Zo ja, dan noemt Franklin Roos die getallen cousins.
Kies 30240 en het dubbele, 60480, als voorbeeld.
Alle delers van 30240 zijn dan ook delers van 60480. Het tweede getal heeft natuurlijk nog meer delers.
De gemeenschappelijke delers van 30240 en 60480 zijn
1 2 15120 3 10080 4 7560 5 6048 6 5040 7 4320 8 3780 9 3360 10 3024 12 2520 14 2160 15 2016 16 1890 18 1680 20 1512 21 1440 24 1260 27 1120 28 1080 30 1008 32 945 35 864 36 840 40 756 42 720 45 672 48 630 54 560 56 540 60 504 63 480 70 432 72 420 80 378 84 360 90 336 96 315 105 288 108 280 112 270 120 252 126 240 135 224 140 216 144 210 160 189 168 180
Naast elke deler staat zijn codeler (behalve bij 1 natuurlijk).
De som van die delers is 90720.
De som van 30240 en 60480 is ook 90720.
30240 en 60480 zijn dus cousins.
De grootte van de twee met een computerprogramma gevonden getallen wijzen erop, dat cousins op de getallenlijn dun gezaaid zijn.