Eenheidhoek van de regelmatige zevenhoek
In een regelmatige zevenhoek worden alle diagonalen getekend.
Alle zijden en diagonalen worden in beide richtingen verlengd.
Dan ontstaat deze figuur met een wirwar van lijnen en hoeken:



In deze figuur komen alleen maar hoeken voor
die 1, 2, 3, 4 of 5 maal 180°/7 zijn.
Die 180°/7 noem ik de eenheidhoek van de regelmatige zevenhoek.
Ik noteer hem als u7.

Alle mogelijke driehoeken in de regelmatige 7-hoek zijn van de vorm
(1,1,5)u7, (1,2,4)u7, (1,3,3)u7 en (2,2,3)u7.
Tussen haakjes staan de drie hoeken van de driehoek, uitgedrukt
in de eenheidshoek u7. Diezelfde getallen staan ook in de tekening.
De som van de drie hoeken in een driehoek is steeds 180° = 7.
Daarom is in (bijvoorbeeld)(1,2,4)de som van de drie getallen steeds 7.
Immers is 180°/7 = u7. Dus 7u7 = 180°.
De volgene figuur, een deel vd vorige. Daarin
zie je in elke hoek het aantal u7:



In de natuur en dagelijks leven zijn regelmatige 7-hoeken uiterst schaars.
Bekijk eens de munt van 20 cent: een regelmatige 7-hoek.
Op de rand staan 7 inkepingen ten gunste van blinden.

Eenheidshoek van de regelmatige n-hoek
Het mooie is, dat een gelijksoortige eigenschap
in elke regelmatige n-hoek bestaat.
n is een willekeurig telgetal groter dan 2.
Elke regelmatige n-hoek heeft zijn eigen eenheidhoek en is 180°/n.

Samenvatting
Als in een regelmatige n-hoek alle diagonalen getekend worden,
dan is elke hoek een veelvoud van 180°/n.
Ik was erg verbaasd, dat deze eigenschap nooit eerder was ontdekt in de afgelopen twee millennia!

Enige reeds bekende eigenschappen
De som van de hoeken van een regelmatige n-hoek is (n - 2)180°.
De hoeken van een (lege) regelmatige n-hoek zijn dan (n - 2)180°/n.

Het aantal diagonalen in een regelmatige n-hoek is n(n- 3)/2.

In de volgende tabel ziet u enige voorbeelden van
alle genoemde eigenschappen.
figuurnaamaantal hoeken
en zijden
aantal
diagonalen
som van
de hoeken
grootte van de
hoeken in °
eenheid-
hoek
in °
verwant
figuur
Δgelijkzijde
driehoek
=
regelmatige
driehoek
30180 6060delta
Δvierkant
=
regelmatige
vierhoek
423609045
regelmatige
vijfhoek
=
pentagon
5554010836pentagram of
5-puntige ster

alleen
diagonalen
regelmatige
zeshoek
6972012030Davidster

kerstster
regelmatige
7-hoek
714900128 + 4/725 + 5/7 0,20
munt
regelmatige
12-hoek
1254180015015(analoge)
klok
regelmatige
360-hoek
36064260644401791/2bijna
cirkel

regelmatige
n-hoek
nn(n-3)/2180(n-2)180(n-2)/n180/n


Het algemene bewijs is gebaseerd op de volgende meetkundige eigenschappen.
  • 180 = n × un
  • hoek + supplement = n × un
  • overstaande hoeken zijn gelijk
  • 2 × een omtrekshoek van een regelmatige
    veelhoek = middelpunsthoek.
  • de omtrekshoek = de eenheidhoek
  • de som van de hoeken in een driehoek is 180 = n × un
  • de som van de hoeken in een vierhoek is 360
  • de som van de hoeken in een n-hoek is (n - 2) un
  • spiegel- en rotatiesymmetrie van de figuur
  • dat is alles, mensen!
spiegel- en rotatiesymmetrie

Wiskunde Hoofdmenu