Grilrijen
Soorten rijen
Er zijn rijen waarvan de termen met een formule gevonden kunnen worden.
Zo genereert de formule t(n) = n2 de rij 1 , 4 , 9 , 16 , … voor natuurlijke getallen > 0.
Beroemd zijn de rekenkundige en meetkundige rijen.
Wat minder bekend is de harmonische rij.
Er zijn rijen waarvan de termen iteratief gevonden kunnen worden.
Een voorbeeld: t(n + 1) = t(n ) + 5 met t(1) = 3 levert de rij 3 , 8 , 13 , 18 , 23 , …
Een ander en veelbesproken voorbeeld is de vermaarde rij van Fibonacci.
Lusrijen herhalen na enige termen: a b c d e f d e f d e f ... .
Hiervoor bestaat een apart artikel.
En dan komen de
Grilrijen
Een grilrij is een deelverzameling van de rij natuurlijke getallen met een grillig verloop.
De opeenvolging van de getallen verloopt zo onvoorspelbaar, dat het onmogelijk is
om met een één of ander voorschrift de volgende term te berekenen uit de voorgaande termen.
Dat betekent niet, dat de erop volgende termen niet vinden zijn.
Elke grilrij bevat termen met een bedoelde eigenschap;
de antigrilrij bevat binnen de verzameling natuurlijke getallen termen,
die de bedoelde eigenschap niet hebben.
Zo is de antigrilrij van de priemgetallen de verzameling getallen,
die niet precies twee delers hebben. Vanzelfsprekend is deze verzameling
even grillig als de verzameling priemgetallen:
0 , 1 , 4 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12 , 14 , 15 , 16 , 18 , 20 , 21 , 22 , … .
Aan elke rij kun je een antirij toevoegen.
De vereniging van een rij en zijn antirij is de verzameling natuurlijke getallen.
De doorsnede van een rij en zijn antirij is leeg; er zijn geen gemeenschappelijke termen.
De grilrijen en antirijen vormen een betrekkelijk onbekend gebied in de wiskunde.
Voorbeelden van grilrijen
Priemgetallen
Een priemgetal is een telgetal of natuurlijk getal, dat precies twee verschillende delers heeft.
De op volgorde opgesomde rij priemgetallen is het bekendste voorbeeld van een grilrij.
Het is opmerkelijk, dat vooral de grilrij van de priemgetallen zo uitvoerig is onderzocht.
Eskwa’s
Een eskwa is een som van twee kwadraten.
De volgende rij bevat de getallen, die geschreven kunnen worden als
de som van de kwadraten van twee natuurlijke getallen:
2 = 1² + 1² , 5 = 2² + 1² , 8 = 2² + 2² , 10 = 3² + 1² , 13 = 3² + 2² , 17 = 4² + 1² ,
18 = 3² + 3² , 20 = 4² + 2² , 25 = 4² + 3² , 26 = 5² + 1² , 29 = 5² + 2² , 32 = 4² + 4² , ... .
Hierbij wordt het kwadraat van nul nooit gebruikt.
De bijbehorende antirij is 0 , 1 , 3 , 4 , 6 , 7 , 9 , 11 , 12 , 14 , 15 , 16 , 19 , 21 t/m 24, … .
Multiplicatieve slierten
5! betekent 1 × 2 × 3 × 4 × 5 en heet vijf faculteit.
Afspraak voor deze site: 3!7 betekent 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 2520.
Een consequentie is, dat 5! = 1!5.
Dit zijn twee voorbeelden van termen uit multiplicatieve slierten.
De oplopende rij van deze soort getallen is een grilrij.
Een multiplicatieve sliert is een vermenigvuldiging van minstens twee opeenvolgende natuurlijke getallen.
Hierbij doen de nul en één om begrijpelijke redenen niet mee!
Het aantal getallen noemen we de lengte van de slierten deze geven we aan met L.
3 × 4 × 5 × 6 × 7 = (1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7) ÷ (1 × 2) = 7! ÷ 2! ( = 5050 ÷ 2 = 2520 )
Deze sliert bestaat uit 7-2 factoren. Dus L = 5.
Is ieder natuurlijk getal > 2 te schrijven als een multiplicatieve sliert?
Het is in ieder geval duidelijk, dat het niet lukt voor priemgetallen en machten.
Maar ook getallen als 2 × 7 geven problemen. De volgende vraag is dan vanzelf:
welke getallen kunnen wel als een multiplicatieve sliert voorgesteld worden?
Om die vraag te kunnen beantwoorden, worden eerst een aantal slierten met een gegeven L bekeken.
Een eerste deelverzameling van de multiplicatieve slierten is 2 × 3 = 6 , 3 × 4 = 12 , 4 × 5 = 20 , ... .
De algemene term uit de rij is n(n + 1).
Een tweede deelverzameling van de multiplicatieve slierten is 2 × 3 × 4 = 24 , 3 × 4 × 5 = 60 , 4 × 5 × 6 = 120 , ... .
De algemene term uit de rij is n(n + 1)(n + 2).
De algemene vorm van een multiplicatieve sliert is t = a! b = b! ÷ (a - 1)!.
Er is geen algemene oplossingsmethode om de volgende, iets grotere term te vinden.
De t kan slechts ontbonden worden in factoren en dan is na te gaan, of de factoren als een sliert te schrijven zijn.
Niet éénduidig
Een getal als 120 kan niet alleen geschreven worden als 4!6 = 4 × 5 × 6,
maar ook als 2!5 = 2 × 3 × 4 × 5.
Het getal 120 is het kleinste dat als twee verschillende slierten te schrijven is.
Het eerstvolgende getal, dat op meer manieren als multiplicatieve sliert te schrijven is,
is het getal 210. Ga dat zelf na.
De complete verzameling van deze multiplicatieve slierten begint zo:
2 × 3 = 6 , 3 × 4 = 12 , 4 × 5 = 20 , 2 × 3 × 4 = 24, 5 × 6 = 30 , 6 × 7 = 42, 7 × 8 = 56 , 3 × 4 × 5 = 60 ,
8 × 9 = 72 , 9 × 10 = 90 , 10 × 11 = 110 , 4 × 5 × 6 = 2 × 3 × 4 × 5 = 120 , 11 × 12 = 132 , 12 × 13 = 156 , ... .
Het is onmogelijk om uit deze rij getallen de volgende af te leiden. Een echte grilrij.
Meer voorbeelden van grilrijen
- eskwa’s waarvan de twee termen die gekwadrateerd worden, priemgetallen zijn.
- eskwa’s waarvan de twee termen die gekwadrateerd worden, eskwa’s zijn.
- eskwa’s waarvan de twee termen die gekwadrateerd worden, driehoeksgetallen zijn.
- getallen ' n over k ', uit de driehoek van Pascal, voorzover 2 < k ≤ n/2 is.
Deze getallen n over k worden wel binomiaalcoëfficiënten genoemd.
- getallen, waarvan de som der cijfers deelbaar is door 7.
- de getallen die acht verschillende delers hebben.
- de getallen die acht verschillende priemdelers hebben.
- het produkt van precies vijf priemgetallen.
- Veelvouden van 7, waarvan het tweede cijfer een 3 is.
- Som van de delers.
Kies een begingetal, bijvoorbeeld 12. Dit is term nummer één.
Bepaal de delers van 12. Dat zijn 1,2,3,4,6 en 12. Laat de deler 12 buiten beschouwing.
Tel de andere delers op. Je krijgt 16. Dit is term nummer twee.
Bepaal de delers van 16. Dat zijn 1, 2, 4 en 8. Vergeet deler 16.
De som van de delers is 15.
Dit is term nummer drie. Door zo door te gaan, wordt de volgende rij verkregen:
12 , 16 , 15 , 9 , 4 en eindigt bij priemgetal 3 en dan 1.
- de som van drie kwadraten.
Het is uitdagend om wezenlijk andere grilrijen te bedenken en
nadere eigenschappen over elk van die grilrijen te verzinnen.
Eerste ideeën tot onderzoek kan je opdoen bij het onderzoek van de priemgetallen.
Voor de hand liggende onderzoeksvragen zijn:
& Kan 'grilligheid' beter gedefinieerd worden?
& Is de grilligheid van de rij slechts schijn en is er toch een regelmaat te ontdekken?
& Zijn er oneindig veel termen of betreft het een eindige verzameling.
Wat is eventueel het aantal termen en wat is dan de grootste term?
& Wordt de verzameling steeds ijler,d.w.z.wordt het verschil tussen de opeenvolgende termen steeds
groter of blijft dat wat om een gemiddelde waarde schommelen?
& Is er ook een regelmaat in eventuele schommelingen?
& Heeft elke grilrij een anti-rij?
& Is elke anti-rij ook een grilrij?
& Heeft de grilrij een praktische betekenis?