Bewijsvoering
Een bewijsvoering, het zoeken naar en het vinden van bewijs,
is bedoeld om een juistheid of waarheid aan te te tonen.
In veel wetenschappen wordt iets bewezen
door het verzamelen van terzake zijnde gegevens en
door ermee te redeneren volgens de regels van de logica.
Dit gebeurt in de wiskunde en alle natuurwetenschappen.
Een belangrijke natuurwetenschappelijke toepassing wordt gevonden
in het forensisch onderzoek bij het strafrecht.
Voor de rechter gelden niet alleen de zo gevonden 'stille getuigen'
maar eveneens de menselijke getuigen.
In sommige landen is één getuige al voldoende bij zware misdaden,
andere landen eisen er minstens twee om het doorslaggevende bewijs te leveren.
De getuige kan echter fantaseren, een sprookje vertellen, overdrijven,
zich vergissen of glashard liegen.
Hoeveel slachtoffers zijn al niet door samenzwering veroordeeld?
Er is dus onderscheid tussen wetenschappelijk en juridisch bewijs.
Inductieve bewijzen
Het gaat in dit voorbeeld om de volgende wet:
alle lenzen voldoen aan de lenzenformule.
Soms kijk je door een lens en soms projecteer je een beeld.
Een lens maakt van een voorwerp een vergroot of verkleind beeld.
De voorwerpsafstand is de afstand van het voorwerp tot de lens.
De beeldafstand is de afstand van het beeld tot de lens en
de brandpuntsafstand is de afstand van het brandpunt tot de lens.
De lenzenformule geeft een wiskundig verband tussen deze drie afstanden.
De wiskundige vorm van de lenzenformule is voor dit betoog niet relevant.
Een niet vervormbare lens heeft steeds dezelfde brandpuntsafstand.
Bij een ooglens is de beeldafstand steeds hetzelfde,
namelijk de afstand van de ooglens tot de gele vlek op het netvlies.
We gaan eens kijken hoe zo'n wet tot stand komt.
Stap 1: het experiment.
We nemen een brandende kaars en we projecteren de vlam in een verduisterde kamer
met een lens op een witte doek.
We zorgen er steeds voor, dat we een zo scherp mogelijk beeld krijgen.
We stellen een steeds andere voorwerpsafstand in en
we meten elke keer na scherpstellen de bijbehorende beeldafstand.
We noteren alle waarnemingen in een tabel met twee kolommen.
Stap 2: de verwerking van de meetresultaten aan de schrijftafel.
De verwerking vergt vrijwel altijd een aantal wiskundige stappen.
De eerste verwerkingsstap is het maken van een grafiek.
Stap 3: uit het experiment volgt een conclusie.
Dat is in dit geval de voorlopige lenzenformule.
Stap 4: het experiment wordt met allerlei verschillende lenzen herhaald.
De eindconclusie van al die experimenten is dat er steeds hetzelfde wiskundige
verband wordt gevonden tussen de voorwerps-, beeld- en brandpuntsafstand.
Stap 5: wereldwijde samenwerking.
Het is nu eenmaal onmogelijk om metingen aan alle lenzen ter wereld te verrichten.
Na vergelijking van vele publicaties blijkt dat iedereen dezelfde relatie
tussen de voorwerps-, beeld- en brandpuntsafstand heeft gevonden: de lenzenformule.
Stap 6: het inductieve bewijs van de lenzenformule
Tenslotte zeggen de fysici: we hebben wereldwijd nooit een lens gevonden
die niet aan de lenzenformule voldoet,
dus geloven we dat alle lenzen voldoen aan de lenzenformule,
niet alleen die ooit onderzocht zijn maar ook alle lenzen van de toekomst.
Die methode heet inductieve bewijsvoering.
Veel natuurkundewetten komen zo tot stand. Ze zijn dus gebaseerd op geloven.
Geloven betekent hier niet menen maar een rotsvast vertrouwen hebben.
Er hoeft maar één lens gevonden te worden die niet aan de lenzenformule voldoet,
of de wereld van de opticiens stort in!
Gevaar
Inductieve bewijzen kunnen gevaarlijk zijn als er niet voldoende zorgvuldig onderzoek is gedaan.
In de praktijk is voldoende zorgvuldig onderzoek onmogelijk.
Een steekproef wordt alleen maar meer betrouwbaar als er meer gemeten wordt.
Absolute zekerheid bestaat in dit verband niet.
Als ik bijvoorbeeld tien mensen ken uit een bepaalde bevolkingsgroep en alle tien gedragen zich crimineel,
dan is het een afschuwlijke blunder om vast te stellen dat die hele bevolkingsgroep crimineel is.
Volledige inductie in de wiskunde
We tellen de eerste vijf telgetallen bij elkaar op: 1 + 2 + 3 + 4 + 5.
We rekenen uit: 1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10 en tenslotte 10 + 5 = 15.
Dus 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Goed hè!
Met vijf getallen is dit een fluitje van een cent maar
met bijvoorbeeld 999 opeenvolgende getallen is het zo een hele tijdrovende klus.
We kunnen 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ook zo uitrekenen.
Er zijn 5 op te tellen getallen, te beginnen bij 1.
Vermenigvuldig 5 met zijn opvolger, met 6 dus, en deel het resultaat door 2.
Dan krijgen we 5 × 6 / 2 = 15. Gelukkig vinden we weer 15.
Lukt deze rekenregel ook met 999 opeenvolgende getallen?
De som van al die getallen zou dan 999 × 1000 / 2 = 499.500 zijn.
De wiskundige bewijst dat zeer elegant.
Stap 1: hij veronderstelt, dat de rekenregel waar is voor n opeenvolgende telgetallen.
Hierin stelt n een willekeurig aantal voor.
Stap 2: dan laat hij zien, dat uit die veronderstelling volgt
dat de rekenregel ook geldt voor één getal méér, dus voor n + 1 getallen.
De som van n +1 getallen moet dus gelijk zijn aan
de som van n getallen plus het laatste getal n + 1.
Dat wil zeggen (n + 1) × ( n + 2) / 2 = {n × (n + 1) / 2} + (n + 1).
Dat is inderdaad waar.
Stap 3: hij toont aan, dat het waar is voor n = 2,
dus voor de eerste twee opeenvolgende getallen. 1 + 2 is inderdaad gelijk aan 2 × 3 / 2 = 3.
Stap 4
Als het waar is voor 2 getallen, dan is het volgens stap 2 ook waar voor 3 getallen.
Als het waar is voor 3 getallen, dan is het volgens stap 2 ook waar voor 4 getallen.
Als het waar is voor 4 getallen, dan is het volgens stap 2 ook waar voor 5 getallen. …
Dit proces houdt nooit op. Dan is de rekenregel waar voor elk aantal getallen.