Dimensies
Nul dimensies
Een nuldimensionale wereld is een punt zonder enige afmeting. Niet erg boeiend.
Eén dimensie
Een lift kan alleen maar op en neer. Je zult moeilijk mee kunnen verdwalen: hij gaat nooit onverwachts rechtsaf. De lift beweegt ééndimensionaal. Ook de metro, trein en tram bewegen ééndimensionaal. Ze kunnen alleen vooruit of achteruit, behalve dan bij wissels. In Zuid Australië ligt de langste rechte spoorbaan ter wereld, afgezien van de kromming van het aardoppervlak.
De rechte lijn is ééndimensionaal. Op aarde wordt een laserstraal als een rechte beschouwd. (Een ster kan hem wat afbuigen.) Een lijnstuk heeft lengte.
Twee dimensies
Met twee dimensies kun je niet alleen vooruit of achteruit maar ook naar links of rechts. Een speelgoedauto beweegt tweedimensionaal over een vlakke vloer. Ook een slak die over een verticale muur kruipt, kan tweedimensionaal bewegen.
Edwin Abbott (1838 - 1926) schreef in 1884 de roman ‘Platland’ waarin hij een tweedimensionale wereld beschrijft. Zo vertelde hij bijvoorbeeld, dat een dier geen doorlopende darm kan hebben, anders valt het uit elkaar.
Alle figuren die je op een plat vlak kunt tekenen (bijvoorbeeld veelhoeken, kegelsneden, grafieken van functies met één variabele) zijn tweedimensionaal. Er zijn lengtes, breedtes en oppervlaktes.
Een trolleybus
Een trolleybus (zoals in Arnhem) op een recht traject kan vooruit en achteruit maar kan ook een beetje naar links of rechts zwenken. Je zou hier kunnen denken aan dimensie 1,2. Die decimaal 2 mag je met een korreltje zout nemen.
Felix Hausdorff en Abram Besikovitsj hebben zich intensief bezig gehouden met ‘hausdorff-dimensies’:
bedek je vlakke figuur (het wegdek) met allemaal vierkanten met zijde r en tel het aantal benodigde vierkanten, N(r).
Dan is de definitie van de dimensie de de grenswaarde van log(N(r))/log(r) waarbij r steeds kleiner gekozen wordt.
Drie dimensies
Alles wat lengte, breedte en hoogte heeft bevindt zich in de driedimensionale wereld. Dat is de wereld waarin wij mensen en dieren leven. Alles wat vliegen kan, geniet van drie dimensies.
Bekende driedimensionale figuren zijn filmsterren, het prisma, de cilinder, een ei en torus.
Nu zijn er lengtes, breedtes, hoogtes, oppervlaktes en inhouden, volumes en (hoeveelheden) ruimte.
Nog een ‘gebroken’ dimensie
In een berglandschap zijn de hoogteverschillen meestal veel kleiner dan de lengte en breedte van het totale landschap. Daarom wordt aan het gebergte niet altijd dimensie drie toegekend maar bijvoorbeeld 2,4. Hoe vlakker landschap hoe dichter de hausdorff-dimensie bij de 2 komt. Hoe hoger de bergen, hoe meer de dimensie de 3 nadert. Hausdorff gebruikt nu in zijn definitie voor gebroken dimensies kubusjes.
Vier dimensies
De wereldberoemde fysicus Albert Einstein beschouwde de drie ruimtelijke dimensie en de tijdsdimensie als één geheel: de vierdimensionale ruimtetijd dimensie. Dat concept gebruikte hij bij de ontwikkeling van zijn relativiteitstheorie. Ruimte en tijd worden op een wonderlijke, wiskundige manier ‘verstrengeld’ wat alleen merkbaar is bij zeer hoge snelheden. Zoek op Wikipedia als je wilt de Lorentztransformatie, de Riemann- en de Minkovski-ruimte.
Vier ruimtedimensies
Heel wat mensen menen, dat er een vierdimensionale wereld bestaat. Een gewoon mens kan dat niet waarnemen. Wij zijn driedimensionaal gebouwd en we kunnen ons slechts driedimensionale voorstellingen maken. Hoe die 4-d-wereld fysisch in elkaar zit weet geen mens.
De wiskundigen hebben een hele mathematische wereld bedacht met allerlei vierdimensionale figuren. De bekendste zijn de hyperkubus of tesseract, de hyperbol en de 120-cel. De eenvoudigste vergelijking van een 4-hyperbol is x2 + y2 + z2 + u2 = R2.
Het optellen van vierdimensionale vectoren gaat net zo gemakkelijk als bij twee- of driedimensionale vectoren. Zo is
(2 , -3 , 0 , 5) + ( -4 , 3 , 2 , 1) = (-2 , 0 , 2 , 6) = 2 × (-1 , 0 , 1 , 3)
De vierdimensionale Bolyai-Lobatsjevski-ruimte heeft tot op heden geen praktische toepassing gevonden.
Religies
In veel religies en filosofieën is er sprake van ‘hemel’, ’wat van boven komt’, ‘hogere sferen’, engelen, … . Misschien ken je wel meer van dit soort uitdrukkingen en begrippen. Naar mijn en veler mening zijn al die verwijzingen naar een vier- of hogerdimensionale wereld.
Fysische dimensies
In de natuurkunde heeft het begrip dimensie toch een wat andere betekenis dan in de wiskunde. Fysisch dimensies zijn bijvoorbeeld die van volume, snelheid, versnelling, kracht, impulsmoment en energie.
De dimensies van een tv-ontvanger
De heel gewone interpretatie van de dimensies van een apparaat zijn de lengte, breedte en hoogte.
Een tv-ontvanger heeft een beeldscherm dat tweedimensionaal is: bewegingen zijn in de breedte en in de hoogte mogelijk.
Beweging impliceert het verstrijken van tijd, de tijdsdimensie.
Met de drie basiskleuren rood, blauw en groen zijn vrijwel alle andere kleuren zichtbaar te krijgen volgens het ‘RGB-systeem’. De beeldbuis is daarmee driedimensionaal gekleurd (geen ruimtedimensie).
Ook de helderheid van het beeldscherm is instelbaar: dimensie nummer zeven. Contrastinstelling geeft weer een dimensie.
Stereogeluid geeft er nog één: links en rechts. De toonhoogte is de dimensie van de frequenties. Een equalizer regelt de verhouding van hogere en lagere tonen. Ten slotte is ook de geluidssterkte instelbaar, de amplitudedimensie.
De samenvatting is, dat een tv-ontvanger fysisch een twaalfdimensionaal apparaat is.
Moleculen
Gasmoleculen hebben een voortdurend veranderende positie in de x-, y- en z-richting. Ook de snelheid in die drie richtingen verandert steeds. Deze zes veranderende coördinaten of kentallen worden beschreven in de zesdimensionale mu-ruimte. Mu is de Griekse letter μ.
Als een gas uit N ≈ 1024 moleculen bestaat, dan wordt de mu-ruimte een kwadriljoen maal ‘ruimer’. In die nieuwe 6N-dimensionale ruimte wordt een gas door één punt voorgesteld. Dat punt ‘wandelt’ door die ruimte volgens een 6N-dimensionaal pad, dat vreselijk kronkelt.
Met een dergelijk model kunnen eigenschappen van gassen zeer gedetailleerd gevonden worden. Dat gebeurt in de statistische thermodynamica of statistische mechanica; machtig interessant maar wel pittig. Het leidt onder andere tot de (algemene) ideale gaswet pV = nRT
.