Steeds terug in dezelfde lusrij
Delers
De getallen 2, 4, 5 en 10 zijn delers van 20.
De 1 en de 20 laat ik in deze tekst bewust buiten beschouwing.
De 2, 4, 5 en 10 zijn dan met deze afspraak alle 'echte delers' van 20.
De grootste echte deler van 20 is 10.
Algemeen: als d een echte deler is van n, is 1 < d < n.
Priemgetallen
Alle priemgetallen hebben twee delers, namelijk 1 en het priemgetal zelf
maar hebben geen enkele echte deler.
Hoewel 1 geen priemgetal is, heeft 1 evenmin echte delers.
Alleen in deze tekst noem ik 1 een priemgetal.
De getallenrij waar het om gaat
We gaan een rij vormen. Het begingetal mogen we vrij kiezen uit de verzameling
positieve natuurlijke getallen.
Als dat getal een priemgetal p is, dan is de volgende term in de rij het getal 2p+1.
Als dat getal geen priemgetal is, dan is zijn opvolger zijn grootste echte deler.
Elke volgende term wordt met dit recept bepaald.
Een voorbeeld: 23 (priem), 2×23+1 = 47 (priem), 2×47+1 = 95 = 5 × 19, 19 (priem), … .
Dergelijke rijen kunnen zeer grillig verlopen.
Een lusrij
5, 11, 23, 47, 95, 19, 39, 13, 27, 9, 3, 7, 15, 5 en vanaf hier
begint de rij zichzelf te herhalen.
Deze rij kunnen we een lusrij noemen zonder speciaal begin of eind.
De kleinste term blijkt 3 te zijn.
Tijdens mijn onderzoek met verschillende begingetallen kwam ik steeds
in de bovenstaande lusrij terecht.
Ik stopte steeds, als herkenningspunt, bij de 3.
Nu vermoed ik, dat deze rij tenslotte in de genoemde lusrij terecht komt,
ongeacht het begingetal. Kun jij dat bevestigen of weerleggen?