Parabolen
Brandpunt
Gegeven zijn een vast punt F (0 , f) en de rechte lijn y = -f.
P is een willekeurig punt en V is de projectie van P op die lijn.
We kiezen P(x , y) zo, dat FP = PV. Dat kan op oneindig veel manieren.
Hoe ziet de verzameling punten P er uit?
FP = √{(x-0)2 + (y-f)2} en PV = y+f
Dus x2 + (y-f)2 = (y + f)2 of y = x2/(4f)
Dat is een dalparabool met de top in (0 , 0).
In de wiskundeles wordt verteld, dat zo’n parabool wordt voorgesteld door y = x2.
Blijbaar is a = 1/(4f) of f = 1/(4a) of 4af = 1.
De gegeven lijn wordt de richtlijn van de parabool genoemd.
F heet het brandpunt of focus en f de brandpuntafstand = de afstand van F tot de top.
Een willekeurige verschuiving van de parabool geeft de vergelijking y = ax2 + bx + c of
y = x2 /(4f) + bx + c
Parabolische spiegel
Een bundel licht die op een parabolische spiegel valt, wordt weerkaatst naar een
bijbrandpunt F’. Dat ligt op een lijn loodrecht op de as van de parabool.
De lichtstraal die door F binnenkomt, wordt evenwijdig aan de hoofdas teruggekaatst.
Zo vind je F’.
De paraboolster
De parabool y = (1/8)x2 + 2 gaat door de punten (-4 , 4) en (4 , 4).
De top ligt bij (0 , 2) en F bij (0 , 4 ), omdat f = 2.
De raaklijn bij (4 , 4) is de lijn y = x. De raaklijn bij (-4 , 4) is de lijn y = -x.
Ga dat alles zelf na.
Spiegel deze parabool in de x-as.
Spiegel deze parabool in y = x.
Spiegel deze parabool in y= -x.
Dan ontstaat een ‘paraboolster’.
De aangrenzende parabolen raken elkaar in de 'hoekpunten'.
Gelijkvormigheid
Als a groot is en f dus klein, dan ziet de parabool er smal en als een kogel uit.
Als a klein is en f dus groot, is de parabool erg wijd, net een paraplu.
Maar toch: alle parabolen zijn gelijkvormig.
Bekijk de top van de ‘puntige’ parabool maar eens met een vergrootglas.
| Parabool | vergelijking | f |
| 1 | 3x2 | 1/12 |
| 2 | (1/5)x2 | 5/4 |
De f van parabool 2 is 15 × zo groot als de f van parabool 1.
De (lineaire) vergrotingsfactor is 15.
Alle lengtes in parabool 2 zijn 15 × de overeenkomstige lengtes in parabool 1.
Paraboolgolf
Beschouw de bergparabool y= -px(x-2a) vanaf x=0 tot en met x=2a.
Het maximum ligt bij (a , pa2).
Draai in gedachte deze bergparabool 180° om rond punt (2a , 0).
Dan krijg je een congruente dalparabool die reikt van x=2a tot x=4a.
Het minimum ligt bij ( 3a , -ap2).
We hebben nu een complete ‘golflengte’ met lengte 4a.
Deze figuur mag je zover als je wilt zowel naar links als naar rechts
uitbreiden met een aantal congruente golflengtes.
De golf vertoont nergens sprongen, met name bij de snijpunten met de x-as.
Daar hebben we zelf voor gezorgd. De golf is continu.
Door te differentiëren kun je aantonen, dat de golf bij x = 2a geen knik vertoont
en dus ook niet steeds 4a verder langs de x-as.
De afgeleide van y= -px(x-2a) = -px2 + 2apx is y’= -2px + 2ap.
Als x = 2a is, is y’ = -2p.2a + 2ap = -2ap.
De steilheid van de bergparabool bij x=2a is dus -2ap.
Op dezelfde manier kun je inzien, dat de steilheid van de dalparabool bij x = 2a ook -2ap is.
Dat betekent dat de twee parabolen een gemeenschappelijke raaklijn hebben.
Die raaklijn is een buigraaklijn voor de golf.
De golf is bij x = 2a differentieer; ook steeds 4a verder langs de x-as.
De paraboolgolf vertoont geen knikken.
Als je een sinusgolf in hetzelfde assenstelsel zou tekenen met golflengte 4a en
met amplitude pa2, dan zou je nauwelijks enig verschil zien met de paraboolgolf.