T E T R O L O G I E

of de basisbasis voor dimensies, -grootheden en -eenheden

Wie vertrouwd met deze begrippen kan de inleiding overslaan en
naar de paragraaf eenheiddimensie springen.
Vanaf daar gebeuren opmerkelijke dingen.

Grootheden
Alle meetbare eigenschappen worden grootheden genoemd.
Voorbeelden van grootheden zijn snelheid, leeftijd, zuurtegraad en volume.
Zo is bijvoorbeeld de snelheid van een auto op zeker moment
14 m/s = 50 km/uur = 0,042 × de geluidssnelheid.
Het getal hangt dus in sterke mate van de eenheid af.

In het algemeen geldt: een grootheid = een getal maal een eenheid.
Vaak laat men het maalteken weg, maar niet altijd. Zie het voorbeeld hiervoor.
Zeer algemeen noteert men voor een willekeurige grootheid A = {A}[A].
Hierin zijn A het symbool voor de grootheid, {A} het gemeten getal en
[A] de bijbehorende eenheid.

Dimensies
Met dimensies worden steeds fysische dimensie bedoeld en
niet zoiets als de derde dimensie waarin wij leven.

De grootheden lengte, breedte, hoogte, diepte, afstand, omtrek,
diameter en straal hebben allemaal iets gemeenschappelijks,
het zijn allemaal lengtes. Ze behoren tot de dimensie lengte.
De eenheid of maat die in deze dimensie thuishoort is de meter
en daarvan afgeleid de mm, cm, dm, . . . km.

De lichtsnelheid, de geluidssnelheid, de vaart van een auto,
de eenheden knopen, m/s en km/uur behoren alle tot de dimensie snelheid.

De grootheden inhoud, ruimte, volume, waterverplaatsing en de
eenheden liter en m3 behoren elk tot de dimensie volume.

Natuurkundige arbeid, energie, warmte en de eenheden joule
en kilowattuur behoren elk tot de dimensie energie.

De grootheden (begin- en eind)kapitaal, (netto en bruto)
winst en verlies, saldo, interest en rente alsmede de
eenheden dollar, euro en andere valuta behoren elk tot de dimensie kapitaal.
Deze dimensie speelt in de fysica geen rol.

Vermenigvuldigen en delen met grootheden en dimensie
Een voorbeeld
Dimensies vermenigvuldigen:snelheid maal tijd = lengte
Grootheden vermenigvuldigen:gemiddelde snelheid × tijdsduur = afstand
Een getallenvoorbeeld:gemiddeld 50 km/uur × 2,4 uur = 120 km
Gelijkwaardig hiermee
Dimensies delen:lengte gedeeld door tijd = snelheid
Grootheden delen:afstand / tijdsduur = gemiddelde snelheid
Een getallenvoorbeeld:120 km / 2,4 uur = gemiddeld 50 km/uur.
Dimensieloze grootheden
Er zijn een aantal grootheden zonder eenheden.
Enige voorbeelden zijn: de brekingsindex van glas naar lucht,
vergrotingsfactor of kort vergroting, nuttig effect of rendement,
allerlei relatieve grootheden en en wrijvingscoëfficiënt.
Men zegt, dat deze grootheden dimensieloos zijn.

Een voorbeeld
Als een radio-ontvanger zijn werk wil kunnen doen,
dan heeft hij elektrisch vermogen als input nodig.
Wat je uit het apparaat wilt hebben, is vermogen in de vorm van geluid.
Dat is de output. Nu geldt voor deze grootheden de volgende formule:
output = nuttig effect × input
Links staat een aantal watt. Rechts moet evenveel watt zijn.
Input en output zijn beide van de dimensie vermogen.
Het nuttig effect, heeft men altijd gesteld, is dimensieloos.

De eenheiddimensie

Hier volgt een definitie van een 'nieuwe' dimensie, de eenheiddimensie.
Alle grootheden die vroeger tot de dimensieloze grootheden behoorden,
zijn leden van de eenheiddimensie.
Waarom? Bekijk nog eens het vorige voorbeeld:
output = nuttig effect × input
dimensie vermogen = eenheiddimensie × dimensie vermogen.
Eigenlijk is de eenheiddimensie identiek aan het natuurlijke getal 1,
vandaar de naamgeving.

De quasi eenheid van de eenheiddimensie
We bekijken weer output = nuttig effect × input.
Een willekeurig getallenvoorbeeld: 80 watt = 0,4 ??? × 200 watt
Op de plaats van de ??? hoeft niets te staan maar er wordt de 'eenheid' Re geplaatst,
een afkorting van reëel getal. Dus 80 watt = 0,40 Re × 200 watt.
Het zal duidelijk zijn dat de Re identiek is met het getal 1.
Zo geldt: het nuttig effect = 0,40 Re. (Dat is overigens hetzelfde als 40%.)
Re is een 'net-alsof eenheid', die aangeeft, dat we met een grootheid uit de eenheiddimensie te maken hebben.
De toevoeging Re laat expliciet zien, dat we ons daarvan bewust zijn en dat we de eenheid niet vergeten hebben.
Bovendien is het ook mogelijk om de bekende voorvoegsels te gebruiken.
Zo staat MRe voor mega, een miljoen zonder eenheid.

Procent, promille en ppm
De promille of ‰ kan vervangen worden door mRe; de procent of % door cRe.
ppm = parts per million kan worden genoteerd als μRe.

Tot de eenheiddimensie behoren
  • alle meetbare of berekenbare grootheden zonder eenheden;
  • alle quasi eenheden, zoals de radiaal (rad) en de steradiaal (sr).
    Zij herinneren er slechts aan dat de hoek of ruimtehoek uitgedrukt is in een reëel getal en
    niet in graden met of zonder minuten, seconden en tertiën;
  • de procent (%), de promille (‰) en de ppm;
  • alle reënle getallen.
Basisdimensies in de natuurwetenschappen
De traditionele zeven basisdimensies zijn die van lengte, tijd, massa, stroomsterkte, temperatuur,
aantal mol en lichtsterkte. Daarbij is de eenheiddimensie een toegevoegde dimensie.

Drie overbodige dimensies

Het is een akelige gedachte, dat hier maar liefst drie overbodige dimensies bij zitten.
Het gaat om de dimensies aantal mol, temperatuur en hoeveelheid licht.
Dat is akelig, omdat fysici de taak hebben om de natuur enerzijds zo nauwkeurig mogelijk
te beschrijven en tegelijk zo eenvoudig mogelijk. Natuurwetenschapper worden geacht zich aan deze
regels te houden. Zij moeten zich los kunnen maken van historische ruis. Zij falen hier.
In de volgende paragrafen volgt een beknopt uitleg.

De basisdimensies aantal mol en temperatuur
In het thema Thermo wordt de overbodigheid van beide dimensies duidelijk uitgelegd.
De basisdimensie temperatuur wordt daar sterk gemotiveerd vervangen door de afgeleide
eenheid thermo en de mol door yotto die tot de eenheiddimensie behoort.

De basisdimensie lichtsterkte wordt op een verantwoorde manier
teruggebracht tot de afgeleide dimensie vermogen.
Dit wordt behandeld in het thema fotonmetrie.

Slechts vier basisdimensies
De enige zinnige fysische basisdimensies zijn dan nog maar de volgende vier:
de dimensies van lengte, tijd, massa en stroomsterkte.
Om wiskundige redenen kan de eenheiddimensie geen basisdimensie worden genoemd.
Zie daarvoor de uitleg in de komende paragrafen over de zogenaamde tetro's.

Tetrologie

Historische groei
Ga er eens van uit, dat we vandaag volstrekt vrij zijn in de keus van basisdimensies met bijbehorende
basisgrootheden en basiseenheden. Zouden we dan tot dezelfde keus komen, zoals die historisch is ontstaan,
dus lengte, tijd, massa en stroomsterkte?
Het op puur historische gronden dat onze (beperkte) verzameling dimensies is bepaald.
Een historische ontwikkeling is overwegend geen systematische of rationele keus.
Het is geleidelijk aan zo gegroeid.

Een doelstelling
Een doel is een basis van dimensies te verzinnen uitsluitend
door middel van volstrekt rationele argumenten.
Daarbij zullen verstandige argumenten op tafel moeten komen.
Hoe kan de beste basis bereikt worden?
Die basis zou dan als de meest ideale opgevat moeten kunnen worden.
Het einddoel is dan de huidige basis te vervangen door de perfecte basis.
Het vervolg van deze site is een zoektocht naar het scenario,
dat ons naar het gestelde doel kan leiden.

Het eisenpakket voor de ideale verzameling van fysische basisdimensies
  • De natuur moet met zo min mogelijk basisdimensies zo volledig mogelijk beschreven worden.
    Dat aantal is zonder de eenheiddimensie vier.
  • De basisdimensies moeten onafhankelijk van elkaar zijn.
  • Met basisdimensies moeten afgeleide dimensies definieerbaar zijn uitsluitend door middel van
    (herhaald) vermenigvuldigen en/of (herhaald) delen van reeds gedefinieerde dimensies.
  • Een dimensie heeft alleen betekenis als er minstens één grootheid toe behoort.
De eisen voor basisgrootheden
  • Met basisgrootheden moeten afgeleide grootheden definieerbaar zijn.
  • Met de basisgrootheden moet een samenhangend eenhedenstelsel op te bouwen zijn.
  • De keus van een basisdimensie is de dimensie van een gekozen natuurconstante.
De eisen voor basiseenheden
  • Bij elke basisdimensie behoort een basiseenheid.
  • Met basiseenheden moeten afgeleide eenheden definieerbaar zijn.
  • basiseenheden moeten reproduceerbaar zijn en
  • praktisch bruikbaar.
  • De basiseenheden moeten onafhankelijk van elkaar zijn.
  • De basiseenheden moeten onafhankelijk van eigenschappen van een bepaald element of
    samengestelde stof gedefinieerd kunnen worden.
Een extra eis
Als een afgeleide dimensie wordt uitgedrukt in basisdimensies dan mogen er
geen gebroken exponenten optreden. Hetzelfde geldt bij grootheden en eenheden.

Natuurconstanten
De eis van de reproduceerbaarheid van eenheden leidt er snel toe
om gebruik te maken van natuurconstanten.
Keus kan o.a. gemaakt worden uit
Natuurconstantebijbehorende dimensie
de lichtsnelheid in vacuümsnelheid
de spin van het protonimpulsmoment
de lading van het protonlading
de diëlektrische constante van het vacuümcapaciteit / lengte
de rustmassa van enige stabiele elementaire deeltjesmassa
de rustenergie van enige stabiele elementaire deeltjesenergie
Allerlei combinaties van bovenstaande, zoals
Natuurconstantebijbehorende dimensie
de magnetische permeabiliteit van het vacuümzelfinductie / lengte
de constante van Wienenergie × lengte *)
de (nieuwe) constante van Faradaylading *)
de bohr-straal van het H-atoomlengte
de rydbergconstante voor Heenheiddimensie / lengte
het bohrmagnetonstroomsterkte × oppervlakte
de atomaire massa-eenheidmassa
......
*) alleen als de thermo geaccepteerd is. Zie 'De vlo botst op de voetbal', afdeling 5.

Wegens de eis van onafhankelijkheid van chemische stoffen, komen allerlei natuurconstanten niet voor,
zoals vaste energiesprongen in atomen en moleculen; allerlei isotherme processen bij de curie-,
smelt-, tripel-, klaar- en kookthermo's van allerlei zuivere stoffen.

De gasconstante, het getal van Avogadro en de constante van Boltzmann
zijn na de introductie van thermo bewust weggelaten.

Over de gravitatieconstante G bestaat twijfel of die wel echt constant is.
Daarom is G niet in de lijst opgenomen.
Om dezelfde reden ontbreken de Planck-eenheden, die G bevatten.

In de praktijk wordt er al goed gebruik gemaakt van natuurconstanten bij het definiëren van de
zogenaamde SI-eenheden. Mijn voorstellen gaan echter verstrekkend verder.

Ongewenste afhankelijkheid
We hebben zoals we zagen maar vier basisdimensies nodig. Dat wijst erop, dat twee van de vorige zes
afhankelijk zijn van de andere vier. Dat is ook zo, want

ten eerste:
dimensie energie = dimensie massa × (dimensie snelheid)2.

en ten tweede:
hcεo = 68,5181 e2, of als dimensierelatie:
impulsmoment × snelheid × (capaciteit per lengte) = eenheiddimensie × (lading)2.
Omdat de eenheiddimensie identiek aan 1 is, kan dit vereenvoudigd worden tot
(lading)2 = impulsmoment × snelheid × capaciteit / lengte.

Bij bijvoorbeeld de dimensie energie is te zien, dat combinaties van natuurconstanten zijn toegestaan.
Immers kan energie gekoppeld worden aan de massa van een elektron × c2.
Dat zijn immers ook natuurconstanten.
Natuurlijk is c de lichtsnelheid in vacuüm.

Tetro's
Om uit te kunnen maken welke keus de meest eenvoudige is,
wordt nu een nieuw hulpmiddel geïntroduceerd: de tetro.

Laten we alleen vanwege de uitleg en vanwege de vertrouwdheid uitgaan van de traditionele basis
{massa, lengte, tijd, stroomsterkte} die overigens dus niet per definitie tot de eindfavorieten behoort.
Dat is niet onmiddellijk te verwachten, omdat er geen natuurconstanten zijn van de dimensies lengte,
tijd en stroomsterkte.

We gaan de dimensie kracht uitdrukken in de bovengenoemde basisdimensie:
dimensie kracht = dimensie massa × dimensie lengte / (dimensie tijd)2.

de massa heeft exponent 1, de lengte heeft exponent 1,
de tijd heeft exponent -2 en de stroomsterkte heeft exponent 0.
Definieer nu de 'tetro' (gebaseerd op die exponenten) die bij de grootheid kracht behoort als de
(wiskundig) vierdimensionale vector [1,1,-2,0]. Dit is de krachttetro.

De massatetro is [1,0,0,0]. Dit is een van de vier basistetro's. De overige drie basistetro's zijn
[0,1,00], de lengtetetro. Dan [0,0,1,0] de tijdtetro en tenslotte [0,0,0,1] de stroomsterktetetro.

De nultetro [0,0,0,0] behoort bij de eenheiddimensie. Omdat die uitsluitend uit nullen bestaat,
behoort hij puur volgens de lineaire algebra niet tot de basis.

Elke algemene-fysische-dimensie-tetro is een lineaire combinatie van de vier basistetro's.
De wiskundigen zeggen, dat deze vier basistetro's een lineaire ruimte opspannen, de tetroruimte.

Je kunt ook terugredeneren: [0,1,-2,0] moet de versnellingtetro zijn.
Elke fysische dimensie wordt in de vierdimensionale tetroruimte voorgesteld als een uniek punt:
elke fysische dimensie heeft zijn eigen punt in de tetroruimte.

Eigenschappen van tetro's
Er is een één-éénduidige relatie tussen een natuurkundige
grootheid en zijn tetro bij een gekozen basis.
Bij een vermenigvuldiging van twee dimensies behoort eenduidig een som van twee tetro's:
massa × versnelling = kracht, terwijl [1,0,0,0] + [0,1,-2,0] = [1,1,-2,0]

Bij een deling behoort eenduidig een aftrekking van tetro's:
output / input = rendement
vermogen / vermogen = eenheiddimensie
[1,2,-3,0] - [1,2,-3,0] = [0,0,0,0]

Roosterpunten
Omdat we geen gebroken exponenten toestaan, zijn de vier kentallen of coördinaten in elke tetro
altijd een geheel getal. In de tetroruimte bevinden de tetro's zich dan ook alleen op de roosterpunten
van het vierdimensionale rooster.
Slechts iets meer dan zestig punten zijn bezet, omdat
er evenzoveel fysische dimensies gedefinieerd zijn.

De verspreiding van tetro's in de tetroruimte
de zogenaamde modulus van tetro [a,b,c,d] is √(a2 + b2 + c2 + d2).
De grootste modulus van alle fysische dimensies vertelt hoe groot de straal van de hyperbol om de
nultetro is waarbinnen alle tetro's zich bevinden. Deze hyperbol wordt de tetrobol genoemd.

De grote tetrosom is de tetrosom van alle ongeveer zestig tetro's.
Met drie tetro's gaat dat zo: [0,2,3,1] + [-2,0,0,2] + [1,2,0,-1] = [-1,4,3,2]
Hoe kleiner de modulus van de grote tetrosom hoe dichter de grote tetrosom bij [0,0,0,0] ligt
hoe meer symmetrisch de tetro's rondom [0,0,0,0] gelegen zijn.

Kleinste tetrobol
We gaan nu voor het eerst functioneel tetro's gebruiken. Om de definitieve keus te maken van de beste
verzameling van vier basisdimensies nemen we uit alle beschikbare kandidaat-bases diegene die de
kleinste tetrobol heeft. Dan zijn de waarden van de exponenten gemiddeld zo klein mogelijk.
De relaties tussen de dimensies zijn dan zo eenvoudig mogelijk.

Een andere optie is
dat de gemiddelde modulus van alle tetro's zo klein mogelijk moet zijn.

Dan is nu de meest rationele keus voor een dimensiebasis in principe mogelijk.
Overigens: aan deze basisbasis wordt steeds de eenheiddimensie toegevoegd.

De keus van de SI-eenheden
Definiëren we een compleet nieuwe set van eenheden die geen logische relatie hebben met kg-m-s-A?
Omdat het niet realistisch is om te geloven, dat iemand daar aan wil, wordt deze optie niet besproken.
Bovendien is hier een eindeloze willekeur mogelijk.
De huidige SI eenheden zullen ongetwijfeld bewaard blijven.

We hebben nu bereikt, dat we de kilogram, de meter, de seconde en de ampère en de ervan
afgeleide eenheden hebben kunnen definiëren met behulp van uitsluitend de fundamentele
natuurconstanten
de lichtsnelheid = c, de lading van het proton = e,
de spin van het proton = $ en een nog nader te kiezen energie-eenheid = u.
Hiermee is onze wens in principe verwezenlijkt.

We kunnen op deze manier de beste basis voor dimensies, grootheden en eenheden vinden
die ooit te bedenken kan zijn. Hiermee is de titel van dit hoofdstuk uitgelegd.

Voorlopige samenvatting
Het is mogelijk gebleken om alle dimensies uit te drukken in uitsluitend de dimensies, die behoren
bij vier van elkaar onafhankelijke fundamentele natuurconstanten.
Hieraan moet de eenheiddimensie worden toegevoegd.

Verrassend genoeg kwam de basis {massa, lengte, stroomsterkte, tijd}
uit de bus met de kleinste 'grote tetrosom' en ook met de kleinste totaalmodulus.
Helaas missen we bij deze grootheden natuurconstanten maar er is geen bezwaar
om natuurconstanten te combineren.

basisdimensie wordt geassocieerd met
lengte elektronspin/(massa van het elektron × lichtsnelheid)
massa massa van het elektron
stroomsterkte lading van het elektron × de massa van het elektron × lichtsnelheid2 / spin van het elektron
tijd elektronspin /(massa van het elektron × lichtsnelheid2)
Met deze kennis gewapend kan de volgende tetro-tabel verantwoord gemaakt worden.
Hij is gesorteerd op de exponenten.
dimensielengtemassastroomsterktetijd
permittivity-3-124
particle density-3000
electric charge density-3011
density-3100
dimensielengtemassastroomsterktetijd
electric conductance-2-123
capacitance-2-124
density of the electrical current-2010
electric flux density-2011
electric flux density-2011
density of the mass current-210-1
mass per area-2100
dimensielengtemassastroomsterktetijd
magnetic susceptibility-1-122
power of a lens-1000
repetence-1000
wave number-1000
magnetic field strength H-1010
power per volume-110-3
pressure-110-2
dynamic viscosity-110-1
mass per lenght-1100
dimensielengtemassastroomsterktetijd
exposure0-111
frequency000-1
time0 00 1
electrical current0 01 0
electric charge0011
magnetic flux density = B01-1-2
power per area010-3
Hooke's constant010-2
mass current010-1
mass0 100
dimensielengtemassastroomsterktetijd
acceleration100-2
velocity100-1
length1 0 00
electric dipole moment1011
permeability11-2-2
elektric field strength = E11-1-3
force110-2
momentum110-1
dimensielengtemassastroomsterktetijd
absorbed dose rate200-3
absorbed dose200-2
specific energy200-2
coefficient of diffusion200-1
area2000
magnetic moment2010
impedance21-2-3
coefficient of (self)induction21-2-2
magnetic flux21-1-2
power210-3
energy210-2
impuls momentum210-1
moment of inertia2100
electric potential22-1-3
dimensielengtemassastroomsterktetijd
gravitation constant3-10-2
specific volume3-100
volume current300-1
volume3000
specific resistance31-2-3

Sommige tetro's komen meermalen voor maar ze zijn slechts
éénmaal meegeteld bij de berekening hieronder:

de vectorsom van de tetro's = [16 19 5 -39 ]
de grootte hiervan = 47
de som van de groottes van alle tetro's = 142
de totale som van alle absolute 'coördinaten' = 221

Bij de door mij onderzochte dimensiebases
kwam deze basis er het beste van af.

Eindconclusie:
de beste basis ooit is dan
{massa, lengte, stroomsterkte, tijd}

Ik vroeg me af, of het wel of niet toeval was, dat deze basis ooit gekozen is en
hoe die keus tot stand is gekomen. Dat was in de literatuur niet terug te vinden.

Naar een andere basis

Stel je wilt de overgang of transformatie maken van
basis {lengte, massa, stroomsterkte, tijd} naar
basis {lading, massa, snelheid, spin}.
(Pro memorie, spin is impulsmoment) Uit de gegeven tabel kun je halen, dat de tetro's
lading, massa, snelheid, spin

(0,0,1,1), (0,1,0,0), (1,0,0,-1) en (2,1,0,-1) zijn

Matrix
Schrijf die vier vectoren als kolomvectoren en zet ze achter elkaar
Dan ontstaat deze 4×4-matrix:
0012
0101
1000
10-1-1
Een afgeleide dimensie omzetten naar de nieuwe basis
In de oude basis is de tetro van kracht (1,1,0,-2).
De tetro in de nieuwe basis wordt dan
bovenstaande matrix maal (1,1,0,-2) als kolomvector geschreven.
Het product is gezochte tetro als kolomvector weergegeven.
Deze berekening hoort thuis in de lineaire algebra.

Onderzoeksresultaten
Ik heb slechts een beperkt aantal verschillende bases met een spreadsheet
onderzocht. De resultaten staan in de tabel hieronder.
basisgrote
tetro
som		grootte
van de
tetrosom		som van de
grootte van
alle tetro's		ssomm *)
{lengte massa stroomsterkte tijd}[19 16 -39 5]47142221
{lading massa snelheid spin}[72 -28 5 47]91190318
{energie lading snelheid spin}[-22 -28 5 47]59176292
{energie lading permittiviteit snelheid}[6 -47 25 47]71215369
{lading massa permittiviteit spin}[-100 149 -72 47]199354646
{lading massa permittiviteit snelheid}[100 -51 28 47]125283514
{energie lading permittiviteit spin}[-6 -39 22 47]65256430
*) ssomm = de som van de absolute waarden van de vier coördinaten van alle tetro's

Er zijn maar 7 mogelijke bases onderzocht.
Het is nog steeds mogelijk dat de beste
basis nog moet worden gevonden.
Wie gaat door proberen op zoek naar de basisbasis?
Of is er een strategie om de basisbasis te vinden?
Wie neemt de uitdaging aan?



Fysica Wetenschappen